1. Un precio que baja no es un daño

El equilibrio de la lección anterior igualaba la relación marginal de sustitución al producto marginal. Eso alcanza el plan de la persona cuando todo lo que importa tiene un precio: el consumo, el ocio, el trabajo. El primer teorema no sobrevive a un efecto que entra en la utilidad o en la tecnología de alguien y no entra en ningún precio. Ese efecto es una externalidad técnica. El nombre largo importa porque hay otro efecto, parecido en la conversación y distinto en la cuenta, que no es un fallo.

Una externalidad pecuniaria es un efecto que viaja por un precio. Si entra un competidor y el precio del producto baja, los clientes ganan y el vendedor antiguo pierde. Ese traslado ya está dentro del excedente del consumidor y del excedente del productor. No sobra un triángulo por el mero hecho de que a alguien le haya bajado el margen. La caja de intercambio está llena de efectos pecuniarios: cuando el precio pasa de 2 a 1, Ana y Bruno cambian de cesta, y eso no es una externalidad que el teorema haya olvidado. Es el mecanismo del teorema.

Una externalidad técnica no viaja por un precio. El humo, el ruido o la congestión entran en la utilidad del vecino, o en su tecnología, y el mercado del bien que los causa no les pone un renglón. Quien produce iguala su coste privado al precio. Quien sufre el daño no cobra. Las pendientes que se igualan son las privadas. Las que importan para el plan conjunto son las sociales. El equilibrio puede ser competitivo en el sentido estrecho —todo el mundo toma los precios que existen— y aun así quedar fuera del plan, porque el precio que faltaba no existe.

El aula de esta lección no reutiliza ni la caja ni las 6 horas. Hay un mercado de un bien con demanda

y coste marginal privado constante e igual a 20. Cada unidad, además, impone un daño de 10 a terceros. Ese 10 es constante, de aula, y no es un tipo de un impuesto real ni una estimación de ningún sector. El coste marginal social es 30: los 20 que paga quien produce y los 10 que paga otro.

La competencia, si ignora el daño, pone el precio en 20 y vende $Q=80$. El óptimo social pone el coste social de 30 frente a la demanda y vende $Q=70$, a un precio de 30. Diez unidades de diferencia. En esas diez, quien compra valora el bien entre 30 y 20, y la sociedad paga 30. Se producen unidades cuyo valor está por debajo de lo que cuestan de verdad.

2. El triángulo de 50

El excedente del consumidor en el equilibrio privado es el triángulo entre 100 y 20, a lo largo de 80 unidades: $0,5\times 80\times 80=3200$. El excedente del productor es 0, porque el precio iguala al coste marginal privado y ese coste es plano: no hay una renta de inframarginal como el beneficio de 4 de la lección anterior. El daño total es $10\times 80=800$. El excedente social, restando el daño, es $3200-800=2400$.

En $Q=70$ el precio que vacía la demanda es 30. El excedente del consumidor sería $0,5\times 70\times 70=2450$. El daño sería $10\times 70=700$. Si las empresas siguen recibiendo solo su coste de 20, su excedente privado sigue siendo 0 y alguien se queda con la diferencia entre 30 y 20. Esa diferencia, bien contada, es un ingreso de $10\times 70=700$ si se recauda, no un beneficio de mercado. El excedente social es $2450+700-700=2450$. Sube 50 respecto de las 2.400 del equilibrio privado.

Esas 50 son el triángulo entre las cantidades 70 y 80. En 70 la demanda vale 30 y el coste social vale 30: la brecha es cero. En 80 la demanda vale 20 y el coste social vale 30: la brecha es 10. Un triángulo de base 10 y altura 10 vale $0,5\times 10\times 10=50$. Nadie las cobra. No están en la cuenta de la empresa, que a precio 20 no gana un margen, ni en la del cliente, que disfruta sus 3.200 sin restar el humo. Están perdidas.

Conviene no restar el daño dos veces. El excedente del consumidor de 3.200 mide lo que los compradores pagan de menos respecto de su disposición, al precio de 20. No mide el humo. El humo es un tercer renglón. Si alguien resta las 800 del excedente del consumidor y además las llama pérdida de la empresa, se inventa una doble cuenta. La empresa, en esta aula de coste plano, no pierde margen al vender 80 a precio 20. Quien pierde es quien respira el daño, y la sociedad pierde además las 50 de las unidades que no debían producirse.

Tampoco es el peso muerto del monopolio de Micro II. Allí, con $P=120-Q$ y coste 30, el monopolio se quedaba en 45 en vez de 90, y el triángulo salía de producir demasiado poco. Aquí se produce demasiado. El signo del fallo es el contrario, y las rectas no se pueden mezclar. Un precio alto puede ser poder de mercado o puede ser un daño metido en el precio. La cuenta que los separa es si el coste que se iguala al ingreso marginal es privado o social.

3. Un impuesto igual al daño, y el regateo de Coase

Un impuesto pigouviano de esta aula es un impuesto de 10 por unidad, igual al daño marginal, no un tipo sacado de una ley. La empresa recibe el precio menos 10. Iguala ese neto a su coste de 20, así que el precio que pagan los clientes es 30. La demanda da $Q=70$. El ingreso del impuesto es 700. El daño es 700. El excedente social queda en 2.450, que es el máximo de estas rectas. El impuesto no "corrige" porque el Estado sea un personaje. Corrige porque mete en el precio de quien decide la pendiente que antes solo veía el tercero.

El mismo 70 se puede alcanzar sin impuesto si el derecho está definido y regatear no cuesta. Es el teorema de Coase, y en esta aula se puede contar con los dos enteros que ya tenemos, 50 y 100, sin inventar un reparto único.

De 70 a 80, la empresa gana un margen privado que es justo el triángulo entre la demanda y el coste de 20. En 70 el precio sería 30 y el coste 20; en 80 el precio es 20 y el margen se cierra. Ese triángulo vale 50. El daño de esas diez unidades vale $10\times 10=100$. Si el derecho al aire limpio es del perjudicado, la empresa tendría que comprarle permiso para producirlas. Como mucho paga 50, que es lo que gana. El perjudicado no suelta el derecho por menos de 100. No hay trato. No se producen. El resultado es 70.

Si el derecho a emitir es de la empresa y el punto de partida es 80, el perjudicado puede pagarle para que recorte. Recortar esas diez unidades le ahorra 100 de daño y a la empresa le cuesta 50 de margen. Cualquier pago entre 50 y 100 deja a los dos mejor que en 80. La cantidad vuelve a 70. Esta aula no elige el pago dentro del intervalo. Elegirlo sería inventar un convenio. Lo que el teorema fija es la cantidad, no quién se queda el excedente del regateo.

El teorema pide costes de transacción nulos y un derecho asignado. Con un perjudicado y una empresa, el regateo es una conversación. Con muchos perjudicados, cada uno espera que el vecino pague, y el coste de ponerlos de acuerdo se come el intervalo entre 50 y 100. Entonces el derecho, aunque exista sobre el papel, no mueve la cantidad, y el impuesto de 10 sigue llevando el mercado a 70 sin necesidad de esa conversación. Coase no dice que el impuesto sea inútil. Dice cuándo el regateo lo sustituye.

Ninguno de estos 10 es un tipo del impuesto de sociedades ni un canon de un sector. Es el daño marginal que esta demanda y este coste dejan escrito. Si el daño marginal no fuera plano, el impuesto que iguala el óptimo tampoco sería un número fijo. La idea cabe en el 10; la tarifa real no sale de él.

4. Un bien que los dos usan a la vez

La externalidad de arriba es un mal que acompaña a un bien privado: cada unidad vendida tiene un comprador, y el daño es un extra. El bien público es otro objeto. La misma cantidad llega a todo el mundo, y el coste es el de proveer esa cantidad, no el de repartirla. Una farola más ilumina a los dos. No se parte en dos medias farolas.

El aula tiene dos personas y un bien público $G$, además de un bien privado que sirve de numerario. Las disposiciones marginales a pagar, en unidades del privado, son

El coste marginal de proveer $G$ es 6, constante. No es el salario 2 de la lección anterior ni el daño de 10 de las páginas de arriba. Es el coste de esta pizarra.

La condición de Samuelson suma las disposiciones y las enfrenta al coste. Nadie se queda con una unidad distinta: lo que hay que preguntar es si, entre los dos, la unidad siguiente vale al menos lo que cuesta.

En $G=3$, Ana vale la unidad en 4 y Bruno en 2. Sumados, 6, que es el coste. Ni una unidad más: en $G=4$ la suma sería $18-16=2$, por debajo de 6. Ni una menos si se puede evitar: en $G=2$ la suma es $18-8=10$, y el coste solo pide 6. Sobran 4 de valor neto en esa unidad, y el hueco se va cerrando hasta el 3.

Los precios de Lindahl son esas disposiciones en el óptimo: Ana paga 4 por unidad y Bruno paga 2. Cada uno, enfrentado a su precio personal, elige $G=3$. Ana resuelve $10-2G=4$, que da 3. Bruno resuelve $8-2G=2$, que da 3. La suma de lo que pagan en el margen es 6. En total, Ana aporta $4\times 3=12$ y Bruno $2\times 3=6$, y $12+6=18$, que es el coste de tres unidades a 6. El bien se financia, y los dos están en su tangencia. Lindahl es un competitivo con precios distintos por persona, porque el bien no se está repartiendo: se está compartiendo.

Esos precios no salen de un mercado anónimo. Salen de preguntar a cada uno cuánto vale la unidad. Si la respuesta baja el precio que esa persona paga, la respuesta baja. El mecanismo que pide honestidad es el problema práctico. La condición, en cambio, es clara: la suma de las pendientes iguala al coste, no cada pendiente por separado.

5. El polizón se queda en dos

Si cada uno puede comprar unidades al coste de 6 y la cantidad total es la suma de lo que compran, el cálculo privado ya no suma las disposiciones. Ana, si Bruno no pone nada, iguala su propia pendiente al coste: $10-2G=6$, luego $G=2$. Bruno, si el total ya es 2, valora la siguiente unidad en $8-4=4$, y 4 es menos que 6. No añade nada. Ana, tomando el cero de Bruno como dado, no quiere pasar de 2. Ese par —Ana aporta 2, Bruno aporta 0— es un equilibrio de sus decisiones por separado.

El óptimo era 3. Falta una unidad. Bruno es polizón: usa las dos unidades que paga Ana y no paga la tercera, aunque entre los dos esa tercera todavía vale 10 y cuesta 6. No es que Bruno valore el bien en cero. En $G=2$ lo valora en 4. Es que 4 no cubre el coste entero, y él no ve el 6 que Ana todavía estaría dispuesta a poner (en $G=2$ la pendiente de Ana es $10-4=6$, justo el coste, así que Ana sola ya no empuja más). La suma es 10. El mercado voluntario solo mira un sumando cada vez.

La pérdida es el área entre la suma de disposiciones y el coste, de 2 a 3. Esa brecha es $12-4G$: en 2 vale 4 y en 3 vale 0. Es un triángulo de base 1 y altura 4, y vale $0,5\times 4\times 1=2$. También se integra: la primitiva de $12-4G$ es $12G-2G^2$, que en 3 vale 18 y en 2 vale 16. La diferencia es 2. Esas 2 unidades de numerario no las recibe nadie. Son la unidad que no se instala.

Compara el tamaño con la externalidad, sin mezclar las pizarras. Allí se perdían 50 sobre un mercado de 80 unidades. Aquí se pierden 2 sobre un bien cuya escala es 3. Los dos fallos son el mismo tipo de frase —una pendiente social que nadie enfrenta entera— y no el mismo entero. Un ensayo que cite las 50 como si fueran la farola, o las 2 como si fueran el humo, ha cruzado las aulas.

Si Ana y Bruno pudieran comprometerse a los precios 4 y 2, volverían al 3 y recuperarían las 2. El obstáculo no es la tecnología. El coste de 6 está bien definido. El obstáculo es que cada uno, al declarar, tiene un incentivo a parecer el que menos valora, para que el otro cargue con el precio de Lindahl. El bien público no refuta la caja de bienes privados. La caja partía las cantidades. Aquí la cantidad es común, y partir el pago no sale de un precio único.

6. Qué sigue siendo cierto de los dos teoremas

El primer teorema no decía que todo equilibrio de la vida real sea óptimo. Decía que un equilibrio competitivo, con mercados para todo lo que entra en las utilidades y en las tecnologías, cae en el conjunto de Pareto. El humo no tiene mercado. La farola no tiene un precio único que cada uno tome como dado y que sume, él solo, las dos disposiciones. En los dos casos falta el mercado que el teorema supone. El fallo no es una excepción pintoresca. Es la hipótesis que no se cumple.

Cuando el mercado que faltaba se crea, el teorema vuelve. El impuesto de 10 crea, de forma tosca y suficiente en esta aula, el precio del daño. El regateo de Coase crea el mismo precio por conversación, si la conversación es gratis. Los precios de Lindahl crean un mercado por persona para el bien público. En cuanto esos precios existen y nadie los mueve a solas, las pendientes privadas y las sociales coinciden otra vez: coste social 30 frente a demanda en $Q=70$, o suma de disposiciones igual a 6 en $G=3$.

El segundo teorema también cambia de aspecto. En la caja, una suma fija movía el reparto sin salir de la diagonal. Aquí una suma fija no corrige el humo: cambia la renta y, con esta demanda escrita ya en disposición a pagar, no cambia el coste marginal privado de 20 ni el daño de 10. Quien produce sigue sin ver el 10. Hace falta un precio en el margen, no un cheque. Con la farola pasa lo mismo. Un cheque igual a los dos no les hace revelar el 4 y el 2. Cambia quién es más rico. La condición de Samuelson sigue sin estar en el precio que cada uno enfrenta si cada uno enfrenta el 6 entero.

Hay un caso que parece externalidad y es poder de mercado, y ya está contado en otro sitio. El monopsonio del trabajo contrataba 32 en vez de 48 porque al contratar subía el salario de los que ya estaban. Ese efecto viaja por el salario. Es pecuniario en el mecanismo y, aun así, destruye un triángulo, porque quien decide no enfrenta el coste social de la hora: enfrenta un coste marginal de contratar que él mismo fabrica al ser el único comprador. No hace falta rehacer esas rectas. Hace falta no archivarlas como "externalidad del empleo". El archivo correcto es el del comprador único. El archivo de esta lección es el del daño sin mercado y el de la cantidad que no se puede partir.

La cuña fiscal de la lección de producción, la que partía el salario en 2 para la empresa y 1 para la persona, también destruía la igualdad de pendientes, y tampoco es esta lección. Allí el mercado existía y el impuesto lo partía. Aquí el mercado del daño no está hasta que el impuesto o el regateo lo crean.

7. Qué se mira antes de llamar fallo a un precio

Dos aulas, separadas. En la del daño, la demanda es $P=100-Q$, el coste privado es 20 y el daño marginal es 10. La competencia se queda en 80 y en un excedente social de 2.400. El óptimo y el impuesto de 10 se quedan en 70 y en 2.450. El triángulo es 50. El regateo llega a la misma cantidad si cuesta cero: la empresa gana 50 con las diez unidades de más y el daño de esas unidades es 100, así que no se compran cuando el derecho es del perjudicado, y se pagan con un importe entre 50 y 100 cuando el derecho es de la empresa.

En la de la farola, las disposiciones son $10-2G$ y $8-2G$, el coste marginal es 6, el óptimo es $G=3$ con precios personales 4 y 2, y la provisión voluntaria se queda en 2, con una pérdida de 2. Ana paga las dos unidades. Bruno no añade la tercera.

Siete preguntas

1. ¿80 o 70? 80 es el competitivo sin precio del daño. 70 es el óptimo, el impuesto de 10 y el regateo sin costes de transacción. La diferencia de excedente social es 50. 2. ¿Dónde están las 3.200? En el excedente del consumidor a precio 20. No incluyen el daño de 800 ni las 50 perdidas. El productor, con coste plano igual al precio, se queda en cero. 3. ¿Coase elige el pago? Elige la cantidad 70. El pago, si la empresa tiene el derecho, cae entre 50 y 100. Esta aula no nombra un convenio dentro de ese intervalo. 4. ¿Por qué Lindahl suma 6? Porque 4 y 2 son las disposiciones en $G=3$, y el coste es 6. Ana aporta 12, Bruno 6, y el coste total es 18. Cada uno elige la misma cantidad porque el precio que ve es el suyo. 5. ¿Por qué la provisión voluntaria se queda en 2? Ana iguala su pendiente al coste entero y compra 2. Bruno, en ese punto, solo valora la siguiente en 4, menos que 6. La suma de pendientes todavía es 10. Nadie la enfrenta. 6. ¿Un rival que baja el precio es esta lección? No. Eso viaja por el precio y ya está en los excedentes. El humo no viaja por el precio hasta que se le pone uno. El monopsonio del trabajo tampoco se archiva aquí: allí el salario existe y el comprador único lo mueve. 7. ¿Qué entero se copia fuera del aula? Ninguno. 10, 50, 70, 80, 3 y 2 organizan la distancia entre pendiente privada y pendiente social. Un vertido real o una farola real piden su demanda, su coste y su daño o su disposición a pagar. Sin eso, el impuesto pigouviano no tiene un tipo, y el polizón no tiene una cantidad.